Разгадка

[dobrokhotov]

Пришло время раскрыть карты. Наверное, все кто уже хотел посмотреть правильный ответ этой задачки, уже сделали это. Но суть в том, что, как показывает практика, чтение правильного ответа не всегда помогает понять суть этого парадокса. Я попытаюсь объяснить это как можно проще.

Правильная стратегия - менять выбор, потому что тогда вероятность попасть на машину 2 из 3, а не 1 из 3, как если настаивать на своем выборе. Почему? Да очень просто.

Многие думают, что когда ведущий открывает дверь с козой, то вероятность надо пересчитывать, исходя из того, что закрытых двери осталось две. Но так было бы только в том случае, если бы после первого выбора двери "перетасовывались". Интуиция не видит этого различия, поэтому-то и нам так сложно это понять.

Чтобы направить интуицию в правильное русло, представьте что дверей 10 тысяч - огромный небоскрёб с дверьми. И вот вы наугад называете номер комнаты. Вы даже и не надеетесь угадать, потому что это будет чудо из чудес. И тогда ведущий, согласно правилам, открывает все остальные двери кроме одной, той, за которой желанный приз. То есть, конечно, есть минимальная вероятность, что вы сразу угадали, и за оставшейся дверью коза, но во всех остальных случаях, там приз (а этих остальных случаев 9999). То же самое с тремя дверьми. Конечно, может быть вы сразу угадали, но во всех остальных случаях, приз за оставшейся дверью. Этих остальных случаев 2, поэтому вероятность выигрыша при смене выбора 2/3.

Судя по комментариям, некоторые все-таки смогли додуматься сами до правильного ответа, поняв из текста поста что тут есть подвох. Многие, правда давали экстравагантные ответы - мол, если настаивать на своём - вероятность 1 из 3, а если выбрать оставшуюся дверь - 1 из 2. Кто-то даже предположил, что если настаивать на своем, то вероятность даже больше (видимо, очень настойчивые по натуре люди).

Не знаю, станет ли кто-то после такого теста умнее, но уж точно это хороший психологический тренинг для излишне самоуверенных людей. Как никак, наука начинается с сомнения.

Comments

[ghee.livejournal.com]

Следуя одному из комментариев по ссылке, которую я привёл, нахожу, что сообщение, "один из них -- мальчик в красных носках" уже приближает вероятность того, что другой -- мальчик, к 1/2. Это потому, что пространство цветов всех выпускаемых в мире носков достаточно большое.

[synergik.livejournal.com]

Извиняюсь что так долго не писал, проблемы с интернетом сейчас...

Я всё ещё убежден, что просто добавляя ненужную информацию, типа ребёнок робился 5 октября или родился во вторник ничего не может изменятся. Мне кажется это можно проверить простым мысленным экспериментом.

Человек идёт по улице и спрашивает прохожих. Сначала спрашивает есть ли у них ровно 2 ребёнка из которых хотя бы один мальчик. Считает количество этих людей - n. Потом спрашивают мальчик ли другой, считает количество этих людей - m. Если всё работает действительно случайно то m/n= 1/3. А теперь можете себе представить, что при встречи с теми же самыми людми вопрос затрагивал ещё и день недели рождения этого мальчика. Как вы думаете m/n от этого бы изменилось?

[ghee.livejournal.com]

Чтобы предвосхитить эксперимент, будем полагать, что ожидание любого из набора непересекающихся вариантов есть сумма ожиданий каждого варианта и что ожидание равновероятного из набора варианта есть единица, делённая на число эти вариантов.

Результат эксперимента зависит от того, равновероятен ли ответ "другой ребёнок -- мальчик, родился во вторник" с остальными ответами о поле и дне рождения другого ребёнка от людей, у которых один из детей -- мальчик, родившийся во вторник. Я теперь склоняюсь к вашему сомнению, потому что мне кажется, что такой ответ в два раза более вероятен, чем другие. Наверное, нужно передать это сомнение в комментариях к сообщению по ссылке.

Тогда вероятность другого ребёнка-мальчика при условии одного мальчика в красных носках тоже 1/3.

Спасибо за сомнение.

[synergik.livejournal.com]

Рад стараться :)

[ghee.livejournal.com]

Хмм, эксперимент не подтвердил наше с вами сомнение...

$ cat two-children.py 
#! /usr/bin/python
import sys, random

random.seed()

samples = 0
matches = 0
subMatches = 0

while True:
    twoChildrenAnswers = tuple( ( int( random.random() * 2 ), int( random.random() * 7 ) ) for i in range( 2 ) )
    sampleRepr = -1
    for i, answer in enumerate( twoChildrenAnswers ):
        g, dow = answer
        if ( ( g == 1 ) and ( dow == 2 ) ):
            sampleRepr = i
            break

    if sampleRepr >= 0:
        samples += 1
        for j, answer in enumerate( twoChildrenAnswers ):
            if j != sampleRepr:
                g2, dow2 = answer
                if g2 == 1:
                    matches += 1
                    sys.stdout.write( "%7d: .%06d\n" % ( samples, ( matches * 1000000 ) / samples, ) )
                    sys.stdout.flush()
                    if dow2 == 2:
                        subMatches += 1
                        sys.stdout.write( "%s %7d: .%06d\n" % ( "***", matches, ( subMatches * 1000000 ) / matches, ) )
                        sys.stdout.flush()

$ python two-children.py
[..]
***  221320: .077539
[..]
 459779: .481479
 459783: .481477

Похоже, что частота другого вторничного мальчика примерно в два раза меньше ожидания в нашем сомнении.

[ghee.livejournal.com]

Интуитивное объяснение: равновероятных вариантов "Мвторник, Мвторник" -- 1 из 13, а не 2 из 14 потому, что ищется хотя бы один мальчик. С такой процедурой отбора любой из вариантов "старший мальчик родился во вторник, младший мальчик родился в день недели X" равновероятен зеркальному варианту, за исключением, когда "X" -- вторник. Ситуация напоминает задачу Монти-Холла: как и выбор козы ведущим, выбор мальчика, родившегося во вторник, снижает ожидание состояшегося рождения другого мальчика во вторник.

В случае поиска среди пар детей, старший из которых -- мальчик, родившийся во вторник, равновероятных вариантов "Мвторник, Мвторник" было бы 1 из 7.

[dobrokhotov.livejournal.com]

какое-то запутанное объяснение. А если бы детей было 10 и 9 из них родились во вторник, то какова вероятность была бы, что и десятый родился во вторник?

[ghee.livejournal.com]

Если процедура отбора допустимых вариантов -- "найти семьи из n детей, где хотя бы n-1 мальчиков" и если считать упорядоченные под-варианты за разные для точности, вариантов для всех дней недели дня рождения оставшейся девочки -- ( n * 7 ), оставшегося мальчика -- ( n * 7 - 1 ). Ожидание мальчика -- ( n * 7 - 1 ) / ( 2 * n * 7 - 1 ) = 69/139, т.е. ещё ближе к 1/2, чем в семьях с 2 детьми.

[ghee.livejournal.com]

Менее запутанное объяснение -- в комментарии от 2 августа к статье по ссылке. Ожидание вторничного мальчика в семьях МД -- 1/7, в семьях ДМ -- 1/7, а в семьях ММ -- почти в два раза больше, 13/49.

[synergik.livejournal.com]

Да мне кажется я ошибся и должен согласиться с этим ужасным абсолютно конринтуитивным решением. Я повторяю ваше решение своими словами.

Всё дело в том, что представить надо себя на месте родителя двух мальчиков. Если вы идёте по улице и вас спрашивают те вопросы о которых я говорил, в особенности последний, о том родился ли ваш сын во вторник. Люди с двумя сыновьями обладают вероятностью 13/49, сказать да один из моих сыновей родился во вторник. А те у кого мальчик с девочкой 14/49 то-есть 2/7.

Так же как и в задаче с козами, исходя из позиции спрашивающего день рождения одного ребёнка не играет роли, ведь в какой-то день он родился. С козами похоже, ведь всегда можно одну дверь без козы открыть. Но если смотреть на задачу со стороны козы (или со стороны родителя с двумя мальчиками) то всё выглядит немного подругому. И всё же это очень противоречит здравому смыслу.